高等线性代数选讲 部分整理

Chapter 2

1. 定义点积

2. 正交补空间

Chapter 3

1. 投影到

2. CS定理 三角不等式

3. 投影矩阵

4. GS正交化？

5. 酉阵保内积保长度

6. 酉阵特征值与行列式均是模长为1的复数

7. Hermite阵可以拆分成实部和虚部

8. Hermite型为实数，可由此定义正定的Hermite阵

9. Hermite阵的特征值都是实数

10. A可酉相似对角化等价于A是复正规矩阵

Chapter 4

1. A正规等价于其酉相似矩阵正规

2. 复正规矩阵的谱定理

3. 实正交阵构成矩阵群O(n) special orthogonal构成矩阵群SO(n) 表示行列式为1的实正交阵

4. SO(3)和R3上的旋转变换一一对应

Chapter 5 快速傅里叶变换

2. 时上式解为

3. 时上式解为

4. 傅里叶级数展开后用复数形式表示
其中称为f(x)的Fourier系数

是的正交基且模长为
使得
事实上可以看作离散的Riemann和

6. 有唯一解
成为离散Fourier变换

7. FFT是快速计算DFT的方法，原理是利用和之间的关系
则：
是(位置为1的置换阵

Chapter 6 循环矩阵 Schur定理 C-H定理

则P的特征值为
令

2. (Schur)设则可逆阵P使得是上三角阵
P可取作酉阵

3. 是A的特征值
则

Chapter 7 C-H定理 最小多项式

1. 设则

则最小多项式

3. 特征多项式和最小多项式均是

4. 的特征多项式和最小多项式均是

5. 分块主对角线矩阵的特征多项式是各方块的特征多项式乘积
最小多项式是各方块的最小多项式的最小公倍式

chapter 9 Jordan标准型唯一性 初等因子 根子空间

取可得的几何重数的Jordan标准型中属于的Jordan块的个数

3. 的特征多项式等于
最小多项式等于

4. 满足的v称为广义特征向量
广义特征子空间称为根子空间
(等于的代数重数)

Chapter 10 Jordan标准型的计算 矩阵的指数

1. 计算出并计算块的个数

2. 找到A的属于的特征向量，且在中

3. 算满足的

Chapter 11 矩阵指数

则
对块对角阵同理

2. 时有

3. 对于一般矩阵将其化为jordan标准型即可求解

则

5. 特征值的最大模长定义为的谱半径
谱半径与收敛半径进行比较判断是否收敛，也可对除以谱半径

6. A的特征值是
则的特征值是
推论

Chapter 12 一阶常系数线性齐次微分方程组

齐次且线性 故解为线性空间 且解空间维数为n

2. 则是解 故A可对角化的时候找到解空间的一组基

3. 不可对角化的时候Jordan链缺失了为初始值的解
考虑
是原方程的k个解

记
则原方程的解空间的基为初始值为
通解是初始值是