信号的基本概念与数学基础
数学基础
欧拉公式：
可以使用：泰勒展开，微分法等来进行证明
正交基：n维欧式空间中由n个向量构成的正交向量组（即两两正交）称为正交基，若为单位向量则称为标准正交基。
正交函数集：在区间上的非零函数序列满足：
则称之为，正交函数集。若，则为标准正交函数集。
两个例子：
三角函数集：是在区间的正交函数集。（自己和自己乘用两倍角公式，自己和别人乘用积化和差）
指数函数集：是在区间（为实数）上的正交函数集。（自己和自己乘注意到取共轭，所以直接消掉变为1；自己和别人乘系数非零，所以积分为0）
完备的正交函数集：不存在，使得：
求解Sa函数积分：利用，对t求导，之后积分后可以得到一个函数方程，解出。
波形变换的时候，先进行反褶。
信号能量定义：
信号功率定义：（除以了整个的时间）
能量有限就称为能量信号，功率有限就称为功率信号
卷积
（需要两个都可积且结果有解）
注意这里两个的自变量都是，一正一负。整个加起来是t。
一个有助于理解的方式是，可以将卷积视为竖式乘法的过程，下面每一次取一个值和上面的所有相乘。最后第m位的值，自然就是上下坐标和为m的那些点的值的乘积。
注意：卷积的微分只需对其中一个函数微分，积分也是。
相关运算：，注意和卷积是反着来的，而且有共轭。（注意顺序！）
奇异信号
单位阶跃信号（此后未特殊解释时均为此意）
单位脉冲信号
单位冲激信号
搬移抽样特性：
时域压扩性：
抽样特性：
信号的分解
函数的正交变换与信号的正交分解
直流交流，奇偶分量，实虚分量
函数的正交分解：当函数在区间具有连续一阶倒数和逐段连续的二阶导数时，可用完备的正交函数集来表示，即：
可以推出：
帕斯瓦尔定理
证明直接带公式，之后会发现
上面那个形式也可称为信号的级数展开，求的过程习惯称为信号变换。如果是标准完备正交基，则称为信号的正交变换。
信号的正交变换在标准完备正交基上。
而周期信号的正交分解则在完备的正交基函数上。
于是可以用这个方法进行傅里叶级数展开。
设周期函数周期为，则展开成三角形式傅里叶级数为：
其中：
复指数形式傅里叶级数
其中：
这个的证明可以由三角形式带入欧拉公式。然后就会得到。当然也可以由正交函数集来证明。
傅里叶变换（FT）
非周期信号的FT
非周期可以看作，于是，频谱上变成连续域。
IFT:
可以推出，频谱实部是偶对称的，虚部和相位均为奇对称的。
从FT可以推出FS：（FS的f(t)只取周期函数的一段）
一个有趣的结论：
当FT无法推导的时候，尝试用IFT证明。
重要的特殊信号的结论：
FT的性质
- 线性，共轭则先取反褶再共轭
- 尺度变换特性
- F(0)与f(0)
它是时域上的整个面积。定义等效脉宽，等效带宽
- FT卷积定理
时域相卷频域相乘，时域相乘频域卷了要除以
【也不知道在哪里有用就记一下】
采样与采样定理
采样的数学模型
冲激串采样（理想采样）
取，则有（证明暂略，通过复指数形式的傅里叶展开，之后再进行傅里叶变换。）
这一点非常重要，一定要背上p和P。
通过DTFT的形式可以反推记忆P。
于是有：
其中。可以看出时域进行理想采样，频域则会将信号以为周期进行沿拓！（注意缩小了T倍）
为了使得采样之后能够还原出之前的频谱，需要不能发生混叠。
Nyquist采样定理：
对于带限最高频率的连续时间信号，如果以的频率进行理想采样，则可以唯一由其样本来确定。（实际工程中往往不取等）
啥样的信号有截止频率？
1. 必须是周期信号
2. 可以分解为有限条直流分量 / 三角函数（频率不能超过截止频率）
当然，也可以是人为截取。比如只取人声部分，4000Hz截断。
内插
理想内插：以理想低通滤波器的单位冲激相应（Sa函数）作为内插函数。卷！
得到：
零阶保持内插：用矩形脉冲作为内插函数。（横坐标[0,T]纵坐标为1）
一阶保持内插：用三角形脉冲作为内插函数。（底边长为2T高为1）
三角形脉冲可以表示成为两个矩形脉冲的乘积，
可以推知，
采样时不满足采样定理的要求就会发生频谱混叠。但是内插后在采样点上仍然保持相同的值。
逆向思维——频域采样
在频域有：
在时域有：
这个可以和之前时域采样的一样记（时域相卷的时候，没有）。频域采样，相当于在时域以进行周期沿拓。
离散时间傅里叶变换（DTFT）
基于FT公式（直接带入推），可以在不知道f(t)表达式的情况下，由一堆采样点（默认是采样之后的f(t)信号）得到频域的表示：
（如果要反过来由求，可以将其视为FS的展开式，即为求的过程）
在满足采样定理的区间上，。
在处理信号的时候，T是一个不必要的变量。（满足了抽样定理之后）我不需要知道它在多久时间内抽样了这么多个点，我只关心抽到的点的个数，和点的值。至于总时间T，在只需要在处理前记录一下抽样频率，再处理完之后再恢复到相同的频率就OK。
于是就有了DTFT，将T视为1个时间单位。
可以和上面的对比来看。这里n表示第n个采样点。同样有：
也可以和上面对比来看。
之前模拟角频率的奈奎斯特区间记为，数字角频率的奈奎斯特区间为
一个重要的关系式：
（这个可以理解为，最大是，而最大恰是）
时移、频移、反褶、共轭（取反共轭）、时域扩展、频域微分的性质不多赘述，可以直接推。
卷积：
时域卷积=频域相乘：
时域相乘=频域卷积，可是频域是周期重复的如何卷积？圆卷积！（研究一个周期上的卷积）
有限长离散时间傅里叶变换
其实就是给加一个窗。取从0~L-1的L个点。加窗后：
当然，也可以由时域相乘，频域相卷来求：
注意可以用DTFT去推（但是不是FT），最后（不要记，拿欧拉公式去推）
这个窗函数的频谱画出来和Sa函数很像（原因很简单，其实就是时域上的矩形窗抽样）
DTFT频谱分辨率
（这个课件上的推导我总觉得有点奇怪，明明是DTFT对抽样后的信号做，却用了FT对连续信号的结论，暂时存疑，就先记住吧）
（哦我好像又懂了，它满足了奈奎斯特定理，所以频谱只会周期重复，这里取了一个周期内的）
加窗之后，序列频谱中出现高频分量，是由于矩形窗两个边缘处的突变造成的。称为“频谱泄露”。
离散傅里叶变换（DFT）
因为计算机只能存储有限长的频谱信息，所以需要对频谱离散化处理。
取特定点的频率值，这些点是：，均匀取点。于是：
这就是DFT的公式。可以继续化简：
会发现这里有两个量，N表示频域的取点数，L表示时域的抽样点数。实际上可以通过以下方式证明，在任何情况下都可以通过一定的变换方式，使得N=L。
- N>L时，频域取点更多，理论上信息会更多。所以可以在时域后面补上N-L个0。
- N<L时，时域取点更多。需要定义回绕：
可以证明，（这就需要注意到的周期性，N为周期。）
这一方面说明，我们可以用回绕的方式来使得N=L
但同时也需要注意，IDFT得到的唯一结果，其对应着无数个可能的序列，这些序列的回绕相同。
要让回绕能对应回原序列，需要
以下未加说明的情况下，默认取N=L
补充一下IDFT的公式：
DFT频谱特点
离散，且周期
实序列的共轭对称
- 关于原点共轭对称：
- 关于N/2点共轭对称（N偶数）：
这里想解释一下这一点，为啥这里共轭对称，实际上会发现从FT开始，对于实序列来说就有了关于原点的共轭对称性。而之后DTFT对于FT进行了抽样，频域上进行了周期扩展，而这个周期性就带来关于的共轭对称。在DFT中又在频域上进行了抽样，所以就是关于N/2的对称。
线性
帕斯瓦尔定理（好像所有的帕斯瓦尔定理都能通过FT/DTFT/DFT直接两边取模平方然后连续的就积分，离散的就求和。大概就是要把频域上的所有能量求和起来。和最开始介绍的一般的帕斯瓦尔定理其实是一样的。）
奇偶虚实性：要不取负要不取共轭，要不按照欧拉公式展开，带公式推一下就好。
反褶or共轭：反褶一般没啥问题，共轭就是共轭还要反褶，不过都带公式推一下吧。
频移：直接带公式，会变成
时移：可以用DFT的公式去推，或者需要根据回绕，
时域相卷，频域相乘：
时域相乘，频域相卷（除以N）：这在FT，DTFT是建立在逆变换唯一的情况下。带入公式可以推知：
DFT到FT、FS的一些结论
DFT和FT的关系
这个是的FT变换结果，是抽样周期。从FT结果抽样后的频谱是要变成的。
IDFT和IFT的关系
这里是的FT函数（满足奈奎斯特抽样定理，有截止频率），将它以为周期进行重复。
这个公式的意义在于，可以得到结论：用IDFT可以求出IFT在对应点的值...不过要除以。
用DFT计算FS（设一个周期内有N个采样点）
用来表示FT的结果，它是有截止频率的。那么有：。（这里之前说过，时域上的周期函数只取一段进行FT，带入公式可以得到这个结果，注意是不是）
之后由上面得到的结论，。
由于均匀采样，。
故：。
如果取，这就相当于是以在进行抽样，所以频谱就不用除以了。（不知道能不能这样理解）
注意做DFT的时候，除了要抽样，还要用进行截取L长度，这会在频域带来一个卷积（卷的是那个很像Sa但不是Sa高度为L主瓣宽的玩意儿，还要记得除以）。卷完之后才能采样。
快速傅里叶变换（FFT）
使用公式：
进行二分地推导。
信号处理举例
过采样和抽取
对于一个信号若想要以进行采样，需要先通过一个模拟抗混叠滤波器（截止频率为W），但是这样的滤波器保存信号的效果不好。不如先通过一个截止频率为4W的滤波器，然后进行8W采样，采完之后得到的点经过数字滤波器（截止频率为W），最后再进行1/4抽取，相当于进行了二次采样，之后频谱上会以2W为周期进行重复，正好和原本的采样效果一样。
采样提升与插零
数字到模拟转换的时候会产生一个具有阶梯特性的模拟信号。由于这个信号中含有数字处理时引入的高频分量（频率泄露），因此需要去掉它们。
这里由截止频率为WHz的抗镜像滤波器完成。
和上面过采样描述的一样，截止频率越高的模拟滤波器越容易实现。因此需要提高截止频率，就需要对数字信号的采样率进行提升。于是想到，可以在每两个点里面插零！
时域上插零，频域上会压缩（相同宽度内会有更多的频谱）比如原来以2W进行周期重复，4倍插零后会变成以8W进行周期重复。
之后就可以用一个数字抗镜像滤波器，以7W为截止频率。再用一个低阶的模拟滤波器就可以轻易恢复原来的信号频率。
滤波器
线性系统：叠加性和齐次性
时不变系统：无论何时输入，只要输入相同，输出就相同
线性时不变系统简记为LTI系统。
因果系统：系统输出取决于现在和以前的输入。
收敛域为右边序列则为因果系统。
稳定系统：输入有界则输出有界。BIBO原则。
稳定的充要条件是：
还可以是收敛域包括单位圆环。
差分方程、流图描述系统。
单位脉冲：
对于这个激励的相应称为单位脉冲响应。
有限脉冲响应FIR滤波器：只取决于之前的输入，在有限个非零采样值之后会下降到零。
无限脉冲响应IIR滤波器：取决于之前的输入和输出，永远不会消失。
直接I型和直接II型实现
滤波器输出信号等于输入信号与脉冲响应的卷积。
定义滤波器的频率响应：
而：
所以可以由此给出的计算方法。（由差分方程到传递函数）
Z变换
它的收敛域有以下特点：
- 有限长序列，若包含0则0到正无穷不取等，全部小于0则0可取等，全部大于0则无穷可取等
- 右边序列，在圆外部分。
- 左边序列，在圆内部分。
- 双边序列，圆环。
常见Z变换：
- ，
- ，
- ，
- ，
，
Z变换性质：
线性
时域平移：
时域扩展（插a-1个零）：
初值定理、终值定理
时域卷积，Z变换乘积
逆Z变换求解
上面次数更小的时候，将下面因式分解之后，z取每一项的值带入，得出每一个
次数相等的时候，为z取0的值。
次数更大的时候，将上面的分子视为偏移项的和
数字滤波器的设计
带通、高通其实过程一样，不过要乘上，用作平移。
几个特殊的积分、微分性质记录一下：
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